Kontraposisi Pernyataan Implikasi

Hei semua. Ketemu lagi sama aye, Mas Wody. Kali ini, aye bakalan ngebahas tentang materi logika. Nah, untuk postingan kali ini, aye bakal ngebahas tentang kalimat atau pernyataan yang berbentuk implikasi. Sebagai pengingat saja, pernyataan implikasi adalah pernyataan yang terdapat "jika" dan "maka"nya. Sebagai contoh, "Jika hari ini hujan, maka saya tidak pergi ke sekolah". Mungkin kalian pernah dengar istilah "kontraposisi". Apa sih yang dimaksud dengan kontraposisi? ^_^ Langsung saja kita mulai pembahasannya.








Seperti yang aye katakan tadi, pernyataan implikasi adalah suatu pernyataan yang berbentuk "jika p maka q" atau biasa disimbolkan dengan p⇒q. Bentuk implikasi ini ternyata mempunyai yang namanya konvers, invers, dan kontraposisi. Nah, sebelum aye jelaskan apa itu kontraposisi, pertama-tama, kita ketahui dulu apa itu konvers dan invers.

Pernyataan implikasi adalah suatu pernyataan majemuk yang tersusun atas lebih dari satu pernyataan. Pada pernyataan p⇒q, p disebut sebagai hipotesis atau anteseden, sedangkan q disebut sebagai konklusi atau konsekuen. Implikasi bernilai salah hanya jika p (anteseden) bernilai benar dan q (konsekuen) bernilai salah.

Nah, sekarang apa itu konvers? Konvers adalah pertukaran antara anteseden dan konsekuen. Berarti, konvers dari  p⇒q adalah q⇒p. Adapun invers merupakan penegasian anteseden dan konsekuen. Maksudnya, antiseden dan konsekuen diberikan tanda negasi. Jadi, invers dari p⇒q adalah ~p⇒~q. Namun, perlu diketahui bahwa invers bukanlah negasi karena negasi dari p⇒q adalah p∧~q (sebab p⇒q bernilai salah apabila p∧~q bernilai benar).

Okey, sekarang, apa itu kontraposisi? Kontraposisi merupakan gabungan antara konvers dan invers. Berarti konvers dari invers suatu pernyataan adalah kontraposisi dari pernyataan tersebut. Biar paham, ceritanya gini, p⇒q diinvers dulu menjadi ~p⇒~q, lalu setelah itu dikonvers menjadi ~q⇒~p (atau dikonvers dulu baru diinvers, sama aja) alias ditukar dan ditaroh tanda negasi. Nah, ~q⇒~p inilah yang disebut sebagai kontraposisi dari pernyataan p⇒q. Kontraposisi dari suatu pernyataan implikasi pasti ekuivalen dengan penyataan implikasi tersebut. Jadi, apabila kontraposisi dari suatu pernyataan bernilai benar, maka pernyataan itu juga benar, begitupun sebaliknya. Untuk lebih jelas, silahkan lihat tabel kebenaran berikut ini.

Coba perhatikan tabel di atas. Terlihat bahwa nilai kebenaran p⇒q pasti selalu sama dengan nilai kebenaran kontraposisinya yakni ~q⇒~p. Itu artinya p⇒q ekuivalen dengan ~q⇒~p. Nah, dengan mengetahui hal tersebut, kita bisa dengan mudah menyelesaikan banyak permasalahan logika. Terkadang ada pernyataan implikasi yang sulit dibuktikan dengan cara langsung tapi mudah sekali dibuktikan dengan menggunakan kontraposisi yakni hanya dengan membuktikan kebenaran kontraposisinya saja karena jika kontraposisi sudah terbukti benar maka pernyataan aslinya juga pasti benar mengingat keduanya ekuivalen.

Contoh kasus penggunaan kontraposisi:

Kita akan membuktikan bahwa, untuk setiap n bilangan bulat, jika n² genap maka n genap.

Jadi, pernyataannya gini:
n² genap ⇒ n genap.

Tentu, soal ini sulit diselesaikan kalau menggunakan cara langsung. Oleh karena itu, kita selesaikan dengan menggunakan kontraposisi.

Kontraposisi dari "n² genap ⇒ n" genap adalah:
n tidak genap ⇒ n² tidak genap.

Mengingat n adalah bilangan bulat, berarti n² juga bulat karena bilangan bulat dikali bilangan bulat hasilnya adalah bilangan bulat. Nah, karena n dan n² itu bilangan bulat, kalo gak genap yah pasti ganjil. Jadi, kalimat "n tidak genap ⇒ n² tidak genap" bisa diubah menjadi:
n ganjil ⇒ n² ganjil.

Nah, sekarang kita bisa membuktikan kontraposisi ini dengan cara langsung. Pertama-tama kita asumsikan pernyataan "n ganjil" itu benar. Karena n ganjil, n bisa ditulis n = 2k + 1 dengan k merupakan bilangan bulat. Lalu, kita substitusikan n = 2k + 1 ke n².

n = 2k + 1
n² = (2k + 1)²
n² = 4k² + 4k + 1

Faktorkan 4k² + 4k menjadi 2(2k² + 2k)

n² = 4k² + 4k + 1
n² = 2(2k² + 2k) + 1

Mengingat k adalah bilangan bulat, berarti 2k² + 2k juga pasti bilangan bulat sehingga dapat ditulis 2k² + 2k = m dengan m adalah bilangan bulat.
n² = 2(2k² + 2k) + 1
n² = 2m + 1

Nah, lihat bentuk di atas. Karena m bilangan bulat, maka 2m + 1 adalah bilangan ganjil. Itu artinya pernyataan "n² ganjil" itu benar. Nah, karena pernyataan "n ganjil" benar mengantarkan ke "n² ganjil" juga benar, pernyataan "n ganjil ⇒ n² ganjil" pun benar. Juga, karena "n ganjil ⇒ n² ganjil" adalah kontraposisi dari "n² genap ⇒ n genap", itu artinya "n² genap ⇒ n genap" juga benar. Sehingga terbukti, untuk semua n bilangan bulat n² genap ⇒ n genap. Selesai deh :)

Yap, itulah contoh penggunaan kontraposisi pernyataan implikasi untuk mencari nilai kebenarannya. Sekarang, kita sudah bisa menggunakan kontraposisi sebagai salah satu metode pembuktian selain dengan cara langsung. Kalau ada yang mau ditanyakan, silahkan ditanyakan di kolom komentar. Kalau ada kesalahan, silahkan dikoreksi. Sampai ketemu lagi di postingan selanjutnya. Da da~