Banyaknya Faktor Dari Bilangan Bulat

Hai semua. Ketemu lagi sama aye, Mas Wody. Di postingan kali ini, aye bakal ngebahas tentang cara mencari banyaknya faktor bilangan bulat dari suatu bilangan. Jadi, misal kalian mau cari banyaknya faktor dari 12. Kalau kita daftarkan satu persatu faktornya, faktor dari 12 adalah -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -6, 6, -12, dan 12 yang ada sebanyak 12 faktor. Ya, bilangan kecil seperti ini memang mudah untuk dicari banyak faktornya. Gimana kalau bilangannya guede banngeet? ^_^ Langsung saja kita masuk ke pembahasan.

Menurut kalian apakah ada strategi lain untuk menghitung banyaknya faktor bilangan bulat dari suatu bilangan? Okay, mari kita coba hitung banyaknya faktor bulat dari 12 dengan cara lain. Sebelum mencari cara lain, kita bisa simak terlebih dahulu pola yang dimiliki oleh faktor-faktor dari 12. Kalau kita lihat, setiap faktor positif punya pasangan faktor negatif, misal 1 dengan -1, 2 dengan -2, 6 dengan -6. Jadi, kita cukup hitung banyaknya faktor positif kemudian dikali dua. Selanjutnya, coba kita simak satu persatu dari setiap faktor dari 12. Ternyata faktor-faktor dari 12 adalah hasil perkalian beberapa bilangan prima yang juga merupakan faktor prima dari 12. Perhatikan bahwa 12 = 2²3. Sedangkan faktorisasi prima dari faktor-faktor positif 12 adalah

• 1 = 2⁰3⁰
• 2 = 2¹3⁰
• 3 = 2⁰3¹
• 4 = 2²3⁰
• 6 = 2¹3¹
• 12 = 2²3¹

Bisa dilihat polanya? Ternyata setiap faktor bulat positif dari 12 dapat ditulis 2^m3ⁿ dengan m,n bilangan bulat nonnegatif sedemikian sehingga 0 ≤ m ≤ 2 dan 0 ≤ n ≤ 1. 

Apakah bisa faktornya dapat ditulis dengan cara lain sebagai "perkalian-perkalian" bilangan prima? Jawabannya adalah tidak. Sebab jika  ada faktor prima lain yang membagi suatu faktor dari 12, misalnya 5, maka 5 haruslah membagi 12. Kita tahu 5 tidak membagi 12, jadi ini kontradiksi. Hal yang sama berlaku untuk prima lain selain 2 dan 3. 

Selain itu, m dan n berturut-turut tidak boleh lebih besar dari pangkat dari pangkat 2 dan 3 pada faktorisasi prima dari 12. Contohnya saja jika m > 2,  2^m tidak membagi 2²3 = 12. Jadi, tidak ada cara lain untuk menyatakan faktor positif dari 12 sebagai perkalian bilangan prima kecuali 2^m3ⁿ dengan m,n bilangan bulat nonnegatif sedemikian sehingga 0 ≤ m ≤ 2 dan 0 ≤ n ≤ 1. Di sisi lain, semua bilangan yang dapat ditulis demikian adalah faktor dari 12.

Dengan demikian, banyaknya faktor positif dari 12 adalah banyaknya bilangan yang dapat ditulis sebagai 2^m3ⁿ dengan m,n bilangan bulat nonnegatif sedemikian sehingga 0 ≤ m ≤ 2 dan 0 ≤ n ≤ 1. Banyaknya bilangan-bilangan tersebut adalah banyaknya cara pemilihan m dan n yakni
(2+1)(1+1) = 6. Tinggal dikali 2 diperoleh banyaknya faktor bilangan bulat dari 12 adalah 12.

Secara umum, jika kita punya bilangan bulat positif k sedemikian sehingga faktorisasi prima dari k adalah k = p₁^r₁p₂^r₂...p_s^r_s dengan p₁, p₂, ..., p_s adalah bilangan prima berbeda maka banyaknya faktor prima dari k adalah

(r₁ + 1)(r₂ + 1)...(r_s + 1).

Untuk pembuktian secara umum ini diserahkan kepada pembaca. Kalau kalian baca dengan teliti dengan cara mencari banyak faktor dari 12 di atas, kalian kemungkinan bisa membuktikannya secara umum.

Okay, dengan begitu kita bisa dengan mudah menghitung banyaknya faktor bulat dari suatu bilangan dengan syarat kita tahu faktorisasi primanya. Kita coba contoh soal yang lebih susah. 

Contoh Soal

Berapakah faktor prima dari 3⁴ × 5² × 11⁷ × 13⁸?

Jawab:

Kebetulan di soal ini, kita sudah diberikan faktorisasi prima dari bilangan yang diberikan. Apabila tidak diberitahu faktorisasi primanya, maka kita harus cari faktoriasasi primanya terlebih dahlu yang tentu saja belum tentu mudah.

Dengan mudah, diperoleh banyaknya faktor bilangan positif dari 3⁴ × 5² × 11⁷ × 13⁸ adalah

(4 + 1)(2 + 1)(7 + 1)(8 + 1) = (5)(3)(8)(9) = 1080.

Jadi, banyaknya faktor bilangan bulat dari 3⁴ × 5² × 11⁷ × 13⁸ adalah 2 × 1080 = 2160.

Okay, cukup sekian postingan aye kali ini. Kalau ada yang mau ditanyakan, silahkan ditanyakan di kolom komentar. Kalau ada kesalahan, silakan dikoreksi. Sampai ketemu lagi di postingan selanjutnya. Da da~