Karakteristik Suatu Lapangan Hingga

 

Hai semua. Ketemu lagi sama aye, Mas Wody. Kali ini aye akan membahas tentang salah satu materi aljabar abstrak yakni lapangan hingga. Jadi, sebelum membaca postingan ini, alangkah baiknya kalian pelajari dulu apa itu lapangan. Di postingan ini, aye akan membuktikan kalau karakteristik dari suatu lapangan hingga adalah bilangan prima. Mungkin kalian semua penasaran, kok bisa lapangan hingga karakteristiknya adalah bilangan prima? ^_^ Langsung saja kita mulai pembahasannya.

Baiklah, pertama-tama aye ingatkan dulu apa itu lapangan secara ringkas. Ini hanya mengingatkan saja, bukan menjelaskan, jadi kalau kalian belum pernah pelajari apa itu lapangan, mending jangan baca postingan ini dulu. 

Lapangan adalah suatu himpunan, misal namaya himpunan 𝐅 yang dilengkapi oleh dua buah operasi yang biasanya kita sebut operasi penjumlahan (+) dan perkalian (× atau •) sehingga membentuk tripel (𝐅, +,×) serta memenuhi beberapa syarat. Syaratnya adalah tertutup atas kedua operasi, asosiatif atas kedua operasi, punya elemen identitas atas kedua operasi yang tidak sama, komutatif atas kedua operasi, serta setiap elemen mempunyai invers atas kedua operasi kecuali elemen 0 (yakni identitas penjumlahan) yang tidak punya invers perkalian (0 disini bisa jadi bukan bilangan). Selain itu, jangan lupa juga ada sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Definisi Karakteristik Lapangan

Itulah secara singkat mengenai lapangan. Selanjutnya apa itu karakteristik dari suatu lapangan? Misalkan 𝐅 adalah lapangan dengan unsur identitas perkalian 1. Aye pertegas, 1 sebagai unsur identitas perkalian disini maksudnya kalau kita ambil sebarang elemen a di 𝐅 maka a•1 = 1•a = a. 1 disini juga bisa jadi bukan bilangan 1. Karakteristik dari suatu lapangan 𝐅 adalah berapa banyak minimal 1 sehingga kalau dijumlahkan semuanya hasilnya adalah 0 (identitas penjumlahan di 𝐅). 

 

Jadi, misal kalau 1 + 1 = 0 di 𝐅 maka karakteristik dari 𝐅 adalah 2. Kalau 1 + 1 ≠ 0 tapi 1 + 1 + 1 = 0 maka karakteristik dari 𝐅 adalah Char(𝐅) = 3, begitupun seterusnya. Bagaimana kalau tidak pernah mencapai 0? Untuk kasus seperti ini, kita definisikan karakteristik lapangannya adalah 0 tapi ada juga yang definisikan karakteristik lapangannya adalah tak hingga.

Kita notasikan na = a + a + a + a + ... + a (sebanyak n kali) untuk setiap a ∈ 𝐅. 

Mari kita eksplorasi sedikit. Misalkan karakteristik dari 𝐅 adalah k.

Perhatikan bahwa karena 1 ∈ 𝐅, maka diperoleh pula

k1 = 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 (sebanyak k kali) = 0.

Karakteristik Lapangan 0 atau Prima

Salah satu sifat dari karakteristik lapangan adalah karakteristik lapangan bernilai 0 atau bilangan prima. Perhatikan bahwa karakteristik lapangan tidak boleh bernilai 1 sebab ini akan mengakibatkan identitas perkaliannya sama dengan identitas penjumlahannya (berdasarkan definisi lapangan, kedua identitas tersebut harus berbeda).

Lalu, apa bukti bahwa karakteristik lapangan bukan bilangan komposit? Andaikan k komposit, maka kita dapat faktorkan k = pq dengan p dan q adalah bilangan bulat yang lebih dari 1.

Selanjutnya, kita peroleh

0 = k1 = (pq)1 = 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 (sebanyak pq kali)

= [1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 (sebanyak p kali)] + [1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 (sebanyak p kali)] + ...
    + [1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 (sebanyak p kali)] (sebanyak q kali)

= 1[1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 (sebanyak p kali)] + 1[1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 (sebanyak p kali)] + ...

    + 1[1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 (sebanyak p kali)] (sebanyak q kali)

= [1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 (sebanyak q kali)][1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 (sebanyak p kali)]

= (q1)(p1).

Diperoleh (q1)(p1) = 0. Salah satu sifat lapangan adalah jika elemennya dikalikan menghasilkan elemen 0 maka setidaknya salah satu elemen yang dikalikan tadi harus 0 (silakan dibuktikan sendiri yah, hehe).

Jadi, q1= 0 atau p1 = 0. Mengingat p,q < k, hal ini tentu kontradiksi dengan karakteristik dari 𝐅 adalah k.

Dengan demikian, karakteristik lapangan hanya boleh 0 atau bilangan prima. Tidak boleh bernilai 1 atau bilangan komposit.

Orde/Banyak Elemen Lapangan adalah Perpangkatan Bilangan Prima

Akibat dari ini, kita juga bisa membuktikan bahwa banyaknya elemen dari lapangan hingga selalu dalam bentuk pⁿ  dengan p adalah bilangan prima dan n bulat positif. Perhatikan bahwa jika 𝐅 adalah lapangan dengan karakteristik p, kita bisa buktikan kalau 𝐅 adalah ruang vektor atas sublapangan 

𝐅_p = <1>  (lapangan dengan orde/banyak elemen p). Banyaknya elemen dari 𝐅 adalah pⁿ  dengan n adalah banyaknya anggota basis dari 𝐅.

Salah satu sifat lain dari lapangan 𝐅 yang berkarakteristik p adalah untuk setiap a,b ∈ 𝐅 berlaku

(a + b)^p = a^p + b^p

dengan mengingat koefisien-koefisien dari ekspansi binomial (a + b)^p adalah kelipatan dari p kecuali suku awal dan terakhir.

Okey, mari kita coba contoh soal.

Contoh Soal

Misalkan GF(32) adalah lapangan hingga yang terdiri dari 32 elemen. Tunjukkan bahwa

untuk setiap a,b ∈ 𝐅 berlaku

(a + b)⁸ = a⁸ + b⁸.

Pembahasan

Perhatikan bahwa banyaknya elemen dari GF(32) adalah 32 = 2⁵. Itu artinya GF(32) berkarakteristik 2.

Selanjutnya, perhatikan lagi (a + b)⁸ dapat ditulis lagi menjadi

(a + b)⁸ = (((a + b)²)²)² .

Dengan menggunakan sifat yang sudah kita bahas di atas, dengan mudah diperoleh

(a + b)⁸ = ((a² + b²)²)²  = ((a²)² + (b²)²)²  = (a⁴ + b⁴)² = (a⁴)² + (b⁴)² = a⁸ + b⁸.

Okay, cukup sekian postingan aye kali ini. Kalau ada yang mau ditanyakan, silahkan ditanyakan di kolom komentar. Kalau ada kesalahan, silakan dikoreksi. Sampai ketemu lagi di postingan selanjutnya. Da da~