Soal Teori Bilangan Menantang

 

Hei semua. Ketemu lagi sama aye, Mas Wody. Kali ini, aye bakal ngebahas salah satu soal teori bilangan. Di postingan kali ini soal yang bakal dibahas adalah soal mencari nilai x agar bisa memenuhi persamaan yang ada di gambar di atas ^_^ Langsung saja kita mulai pembahasannya.

Dalam menyelesaikan soal teori bilangan terutama soal-soal tingkat lanjut, disarankan kita mempunyai pengetahuan tentang ekuivalensi modulo beserta sifat-sifatnya. Sebab, sifat-sifat ekuivalensi modulo adalah alat yang sangat powerful untuk menyelasaikan soal-soal yang berkaitan dengan bilangan-bilangan bulat.

Nah, soalnya seperti ini. Carilah semua solusi bilagnan bulat positif $x$ sedemikian sehingga 

$3^{2^{x!}}=2^{3^{x!}}+1$.

Solusi

Perhatikan bahwa $x=1$ adalah solusi dari persamaan tersebut. Apakah ada solusi lain? Ternyata tidak ada solusi lain. Andaikan ada solusi $x>1$. Diperoleh $x!$ genap. Karena $x!$ genap maka diperoleh pula $3^{x!}\equiv {(-1)}^{x!}\equiv 1\left(\mathrm{mod}4\right)$. Akibatnya digit terakhir dari $2^{3^{x!}}$ adalah $2$. Dengan demikian, digit terakhir dari $3^{2^{x!}}=2^{3^{x!}}+1$ adalah $3$ tapi ini seharusnya tidak terjadi sebab perpangkatan genap dari $3$ hanya bisa punya digit terakhir $1$ atau $9$. Jadi, $x=1$ adalah satu-satunya solusi.

Okay, cukup sekian postingan aye kali ini. Kalau ada yang mau ditanyakan, silahkan ditanyakan di kolom komentar. Kalau ada kesalahan, silakan dikoreksi. Sampai ketemu lagi di postingan selanjutnya. Da da~