Identitas Trigonometri (Rumus Selisih Sinus) dengan Bantuan Fungsi Eksponensial.

Hai semua. Ketemu lagi sama aye, Mas Wody. Kali ini aye akan menunjukkan pembuktian rumus selisih sudut sinus dengan menggunakan bantuan eksponensial. Lah, kok bisa? Yap, tentu saja bisa dengan menggunakan Formula Euler. Formula Euler yang mana yang aye maksud disini? Tentu saja, tidak lain dan tidak bukan adalah formula yang sudah sangat-sangat terkenal di kalangan matematikawan. Formula ini adalah formula legendaris yang berkecimpung dalam dunia bilangan kompleks. Tentu saja, mungkin kalian sudah bisa menebaknya. ^_^ Baiklah, langsung saja kita masuk ke pembahasan.

Formula yang aye maksud di atas adalah formula berikut.

 \( e^{ix} = \cos \left ( x \right ) + i \sin \left ( x \right ) \)

Formula Oylaahh

Dengan menggunakan formula tersebut, aye akan membuktikan bahwa

\( \sin \left ( x \right ) - i \sin \left ( y \right ) = 2 \sin \left ( \frac{x - y}{2} \right ) \cos \left ( \frac{x+y}{2} \right ) \) 

Rumus Selisih Sinus

Penasaran bagaimana pembuktiannya? Simak baek-baek yah.

Sekilas, memang tampak sulit untuk membuktikannya. Akan tetapi, tenang aja, kalian simak baik-baik. Perhatikan Formula Euler di atas, coba aye ganti \( x \) dengan \( -x \). Apa yang akan terjadi?

 \( e^{ix} = \cos \left ( -x \right ) + i \sin \left ( -x \right ) \)

Ingat bahwa cosinus merupakan fungsi genap, jadi \( \cos \left ( -x \right ) = \cos \left ( x \right ) \). Sedangkan sinus adalah fungsi ganjil, jadi \( \sin \left ( -x \right ) = - \sin \left ( x \right ) \). Sehingga, persamaan di atas akan berubah menjadi sebagai berikut.

 \( e^{-ix} = \cos \left ( x \right ) - i \sin \left ( x \right ) \)

Okey, good, kan? Perhatikan deh, kita peroleh dua persamaan yakni
\( e^{ix} = \cos \left ( x \right ) + i \sin \left ( x \right ) \) dan \( e^{-ix} = \cos \left ( x \right ) - \sin \left ( x \right ) \). Coba kita jumlahkan kedua persamaan maka diperolehlah

 \( \LARGE {e^{ix} + e^{-ix} = 2 \cos \left ( x \right ) \Rightarrow \cos \left ( x \right ) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}} \).

Sedangkan, kalau kita kurangkan kedua persamaan tersebut maka yang akan kita peroleh adalah

 \( \LARGE {e^{ix} - e^{-ix} = 2i \sin \left ( x \right ) \Rightarrow \sin \left ( x \right ) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}} \).

Apa yang kita peroleh dari menjumlahkan dan mengurangi tersebut? Yap, kita peroleh bentuk lain dari sinus dan cosinus :) Dengan menggunakan ini, kita bisa membuktikan rumus selisih sinus di atas.

Pembuktian

Diketahui:

\( \LARGE {\cos \left ( x \right ) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}} \)

dan
\(\LARGE {\sin \left ( x \right ) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}} \).

Akan kita tunjukkan bahwa

\( \sin \left ( x \right ) - \sin \left ( y \right ) = 2 \sin \left ( \frac{x - y}{2} \right ) \cos \left ( \frac{x+y}{2} \right ) \) 

Rumus Selisih Sinus

Perhatikan bahwa ruas kanan kelihatannya lebih rumit dari yang ruas kiri. Oleh karena itu, aye evaluasi ruas kanan aja. Ntar bakal diliat apakah ruas kanan nantinya bakal sama dengan ruas kiri.

Ini adalah ruas kanan

\( 2 \sin \left ( \frac{x-y}{2} \right ) \cos \left ( \frac{x+y}{2} \right ) \)

Ekspresi ini akan kita ubah ke bentuk lain menggunakan semua yang kita peroleh tadi. Sehingga menjadi 

\( \Large {2 \sin \left ( \frac{x-y}{2} \right ) \cos \left ( \frac{x+y}{2} \right ) = 2 \left ( \frac{e^{\left (\frac{x-y}{2} \right ) i} - e^{\left (- \frac{x-y}{2} \right ) i}}{2i} \right ) \left ( \frac{e^{\left (\frac{x+y}{2} \right ) i} + e^{\left (- \frac{x+y}{2} \right ) i}}{2} \right )} \) 

Kelihatan agak ruwet yah? Eits, ini bisa kita sederhanakan lagi loh! Misalnya saja, kita bisa coret 2 dengan 2, trus kita keluarkan \(\frac{1}{2i}\) sehingga diperoleh

\( \Large {2 \sin \left ( \frac{x-y}{2} \right ) \cos \left ( \frac{x+y}{2} \right ) = \cancel{2} \left ( \frac{e^{\left (\frac{x-y}{2} \right ) i} - e^{\left (- \frac{x-y}{2} \right ) i}}{2i} \right ) \left ( \frac{e^{\left (\frac{x+y}{2} \right ) i} + e^{\left (- \frac{x+y}{2} \right ) i}}{\cancel{2}} \right )} \)  

\(\Large {  \Rightarrow 2 \sin \left ( \frac{x-y}{2} \right ) \cos \left ( \frac{x+y}{2} \right ) = \frac{1}{2i} \left ( e^{\left (\frac{x-y}{2} \right ) i} - e^{\left (- \frac{x-y}{2} \right ) i}\right ) \left ( e^{\left (\frac{x+y}{2} \right ) i} + e^{\left (- \frac{x+y}{2} \right ) i} \right )} \) 

Selanjutnya kita bisa kalikan masuk negatif yang ada di bagian pangkat.

 

\( \Large {2 \sin \left ( \frac{x-y}{2} \right ) \cos \left ( \frac{x+y}{2} \right ) = \frac{1}{2i} \left ( e^{\left (\frac{x-y}{2} \right ) i} - e^{\left (\frac{-x+y}{2} \right ) i}\right ) \left ( e^{\left (\frac{x+y}{2} \right ) i} + e^{\left (\frac{-x-y}{2} \right ) i} \right )} \)

 

Next, yah tinggal perkalian biasa saja ya kan? ;)

 

\( \large {2 \sin \left ( \frac{x-y}{2} \right ) \cos \left ( \frac{x+y}{2} \right ) = \frac{1}{2i} \left [ \left ( e^{\left (\frac{x-y}{2} \right ) i} \right ) \left ( e^{\left (\frac{x+y}{2} \right ) i } \right ) + \left ( e^{\left (\frac{x-y}{2} \right ) i} \right ) \left ( e^{\left (\frac{-x-y}{2} \right ) i} \right ) - \left ( e^{\left (\frac{-x+y}{2} \right ) i} \right ) \left ( e^{\left (\frac{x+y}{2} \right ) i} \right ) - \left ( e^{\left (\frac{-x+y}{2} \right ) i} \right ) \left ( e^{\left (\frac{-x-y}{2} \right ) i} \right )\right ] }\)

Menggunakan sifat pangkat, karena basisnya sama, maka pangkatnya bisa langsung dijumlahkan.

  \( \LARGE {2 \sin \left ( \frac{x-y}{2} \right ) \cos \left ( \frac{x+y}{2} \right ) = \frac{1}{2i} \left ( e^{\left (\frac{x-y+x+y}{2} \right ) i} + e^{\left (\frac{x-y-x-y}{2} \right ) i} -e^{\left (\frac{-x+y+x+y}{2} \right ) i} - e^{\left (\frac{-x+y-x-y}{2} \right ) i} \right ) }\) 

Tentu saja, yang tinggal kita lakukan hanya penyederhanaan aja.

   \( \LARGE {2 \sin \left ( \frac{x-y}{2} \right ) \cos \left ( \frac{x+y}{2} \right ) = \frac{1}{2i} \left ( e^{{\color{Red} \frac{2x}{2} }i} + e^{{\color{Red} \frac{-2y}{2}}i}  -e^{{\color{Red} \frac{2y}{2} } i} - e^{{\color{Red} \frac{-2x}{2} } i} \right ) }\)

\( \LARGE {  \Rightarrow 2 \sin \left ( \frac{x-y}{2} \right ) \cos \left ( \frac{x+y}{2} \right ) = \frac{1}{2i} \left ( e^{{\color{Red} x }i} + e^{{\color{Red} -y}i}  -e^{{\color{Red} y } i} - e^{{\color{Red} -x} i} \right ) }\)

 Dari sini mungkin udah kelihatan hasil akhirnya bakal kek gimana ya kan? Selanjutnya kita pisahkan yang ada \( x \)-nya sama yang ada \( y \)-nya.

  \( \LARGE {2 \sin \left ( \frac{x-y}{2} \right ) \cos \left ( \frac{x+y}{2} \right ) = \frac{1}{2i} \left ( e^{{\color{Red} x }i} - e^{{\color{Red} -x}i}  -e^{{\color{Red} y } i} + e^{{\color{Red} -y} i} \right ) }\) 

  \( \LARGE { \Rightarrow 2 \sin \left ( \frac{x-y}{2} \right ) \cos \left ( \frac{x+y}{2} \right ) = \frac{1}{2i} \left [ \left ( e^{{\color{Red} x }i} - e^{{\color{Red} -x}i} \right )  - \left ( e^{{\color{Red} y } i} - e^{{\color{Red} -y} i} \right ) \right ] }\)  

Selanjutnya, kita distribusi kembali  \( \frac{1}{2i} \)-nya.

  \( \LARGE { \Rightarrow 2 \sin \left ( \frac{x-y}{2} \right ) \cos \left ( \frac{x+y}{2} \right ) = \frac{e^{x i} - e^{-xi}}{{\color{Red}2i}}  - \frac{e^{y  i} - e^{ -y i}}{{\color{Red}2i}} }\) 

Ingat bahwa, \( \sin \left ( x \right ) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \). Selain itu juga, \( \sin \left ( y \right ) = \frac{e^{iy} - e^{-iy}}{2i} \). Diperolehlah

\( \LARGE { 2 \sin \left ( \frac{x-y}{2} \right ) \cos \left ( \frac{x+y}{2} \right ) = {\color{Blue} \sin \left ( x \right )}  - \frac{e^{y  i} - e^{ -y i}}{2i} }\) 

\( \LARGE \Rightarrow { 2 \sin \left ( \frac{x-y}{2} \right ) \cos \left ( \frac{x+y}{2} \right ) = \sin \left ( x \right )  - {\color{Blue} \sin \left ( y \right )} }. \blacksquare \)

Nah, cukup sekian pembuktian dari aye kali ini. Kalian juga bisa menonton video pembuktian sifat trigonometri ini dari kanal Youtube Papa Flammy.

Okay, cukup sekian postingan aye kali ini. Kalau ada yang mau ditanyakan, silahkan ditanyakan di kolom komentar. Kalau ada kesalahan, silakan dikoreksi. Sampai ketemu lagi di postingan selanjutnya. Da da~